ekşi sözlük kullanıcılarıyla mesajlaşmak ve yazdıkları entry'leri
takip etmek için giriş yapmalısın.
hesabın var mı? giriş yap
6 farklı zar yapmanın imkansız olması
-
eğer zar dediğimiz şeyin üç boyutlu düzlemde eşit alana sahip geometrik yüzeyleri olan bir cisim olduğunu kabul edersek karşılaşacağımız durumdur.
peki bu ne demek?
günlük hayatta en çok kullanılan zar olan küp zarın şeklini düşünelim. bu zarda altı farklı sayı gelme ihtimali vardır ve bu ihtimaller zarın mükemmel bir şekilde hilesiz olduğunu düşündüğümüz durumda birbirine eşittir çünkü zarın her bir yüzü diğeriyle aynıdır. bunun sebebi zarın bir küp olmasıdır: görsel
ancak eğer kenarları birbirine aynı olan başka bir zar yapmak isteseydik yapabilirdik.
tek bir koşulla.
eğer küp dışında bir zar yapmak isteseydik sadece ve sadece 4 farklı zar yapma imkanımız olurdu: görsel
görseldeki cisimlerin her biri üç boyutludur ve hepsi birbirine eşit alanlara sahip yüzeylerin bir araya gelmesiyle oluşmuş cisimlerdir. bu cisimlere platon katıları denir. eğer bu cisimlerden farklı bir zar yapmak ister ve bu zarın her yüzeyinin alanının diğerleriyle eşit olması için çabalarsanız başaramazsınız.
peki neden?
eğer üç boyutlu bir geometrik cismi alır, bu cismin yüzey sayısı ile köşe sayısını toplar ve bu sayıdan köşeleri birleştiren kenar sayısını çıkarırsanız daima 2 sonucunu bulursunuz.
bu olaya yabancı literatürde euler characteristic denir. türkçe çevirisi sanırım yok, bu sebepten ben euler karakteristiği diyeceğim.
euler karakteristiği: görsel
şimdi diyelim ki üç boyutlu bir cismin kenarlarını sayıyoruz. bu cismin her bir yüzü ile diğer yüzü birbiriyle bitişik olacağından bu cismin kenarlarını saydığımızda bulacağımız sonuç bu cismi ayrı ayrı inceleseydik bulacağımız sonuçtan farklı olurdu.
örneğin bir küp düşünelim.
eğer bir küpün sahip olduğu kenarları sayarsak 12 sonucunu buluruz. ancak bu küpün yüzeylerini ayırır ve her bir yüzeyi oluşturan karelerin kenarlarını ayrı ayrı sayarsak 4x6=24 işleminden 24 kenar buluruz.
bu noktada bir şeyle karşılaşıyoruz.
küpü oluşturan kareleri ayrı ayrı incelediğimizde bulduğumuz kenar sayısı, küpün kendisini incelediğimizde bulduğumuz kenar sayısının iki katına eşit çıkıyor.
diyelim ki küp yerine bir tetrahedronu, yani 4 farklı üçgen yüzeyin bir araya getirilmesiyle oluşturulmuş üç boyutlu cismi inceliyoruz: görsel
eğer tetrahedron'u oluşturan üçgenlerin kenarlarını ayrı ayrı sayarsak 12 kenar sonucuna varırken, bu üçgenlerle üç boyutlu bir cisim oluşturduğumuzda ortaya çıkan cismin kenarlarını sayarsak 6 kenar sonucuna varıyoruz.
bu noktada küp ve tetrahedron arasında bir benzerlik bulduk.
önce euler karakteristiğini formülize edelim:
yüzey sayısı = f
köşe sayısı = v
kenar sayısı = e
her geometrik cisim için: v + f - e = 2
biz küp ve tetrahedron'da ayrı ayrı incelendiklerinde kenar sayılarının iki katına çıktığını görmüştük.
v + f -e = 2 formülündeki sembolleri bu duruma uyarlayabilmek için bir küpün her bir köşesinin kaç kenar ile bağlantılı olduğuna bakalım: görsel
şekilde görülebileceği üzere küpün her bir köşesine 3 kenar bağlantılıdır.
bir köşeye bağlantılı kenar sayısına ek diyelim.
bu durumda küp için şöyle bir formüle erişiriz: (v) (ek) = 2e
yani eğer köşe sayısı ile köşelere değen kenar sayısını çarparsak kenar sayısının iki katını buluruz.
küp için: 8 x 3 = 24
tetrahedron için: 4x3 = 12
şimdi aynı formülü başka bir biçimde tekrar işimize yarayacak şekilde uyarlayalım.
bir cismi oluşturan yüzeydeki toplam kenar sayısına fk diyelim.
eğer küpü yüzeylerine ayırırsak ve toplam kenar sayısını hesaplarsak yaptığımız işlemi şu şekilde formüle dönüştürebiliriz:
(f) (fk) = 2e
yani yüzey sayısı ile yüzeyleri oluşturan kenarların toplamı bu cisimdeki kenarların iki katına eşit olacaktır.
şimdi v + f - e = 2 formülünü yukarıdaki formüller şeklinde yazalım:
v = 2e/ek
f = 2e/fk
v + f = 2 + e
böylelikle:
( 2e/ek) + ( 2e/fk) = 2 + e
yani eğer üç boyutlu bir cisimdeki kenar sayısının iki katının bu cisimdeki bir köşeye bağlantılı kenar sayısına bölümü ile bu cisimdeki kenar sayısının iki katının bu cisimdeki bir yüzeyin toplam kenar sayısına bölümü ile toplarsak elde edeceğimiz sonuç bu cisimdeki kenar sayısının iki fazlası olur.
şimdi denklemde iki tarafı da 2e sayısına bölelim:
(2e/ek) + (2e/fk) = 1/ek + 1/fk ve (2+e)/2e = 1/e + 1/2
böylelikle:
1/ek + 1/fk = 1/e + 1/2
bir geometrik cisimdeki kenar sayısı daima pozitif olacağından yukarıdaki denklemin sağ tarafındaki sayının 1/2 sayısından büyük bir sayı olacağı sonucuna varırız.
böylelikle: 1/ek + 1/fk > 1/2
burada oldukça estetik bir şey keşfetmiş olduk.
ek sayısı bir geometrik cisimdeki kenar sayısını, fk sayısı ise üç boyutlu bir cisimdeki köşelere bağlı olan kenar sayısını temsil ediyor demiştik.
bir geometrik cisimde sahip olabileceğimiz en düşük kenar sayısı 3'tür çünkü en az kenarı olan geometrik cisim üçgendir. tam olarak bu sebepten en az köşeye sahip üç boyutlu cisim üçgenlerle yapıldığından, köşelerin bağladığı kenar sayısı da üçten küçük olamaz.
bu durumda hem ek sayısı hem de fk sayısı ya üç olacak ya da üçten küçük olacaktır.
şimdi yukarıdaki eşitsizliğimize dönelim.
1/ek + 1/fk < 1/2 demiştik.
bu durumda ek ve fk sayılarının 3 ya da 3'ten büyük olmaları gerektiğini biliyoruz.
yukarıdaki eşitsizliğe uyabilecek sınırlı sayıda ek + fk değeri vardır.
bu değerler şu şekildedir:
1-> ek = 3 ve fk = 3, böylelikle 1/3 + 1/3 > 1/2
2 -> ek = 4 ve fk = 3, böylelikle 1/4 + 1/3 > 1/2
3-> ek = 3 ve fk = 4, böylelikle 1/3 + 1/4 > 1/2
4-> ek = 5 ve fk = 3, böylelikle 1/5 + 1/3 > 1/2
5-> ek = 3 ve fk = 5, böylelikle 1/3 + 1/5 > 1/2
yukarıdaki değerlerin her biri bir platon katısına denk gelmektedir.
eğer platon katılarının her birini incelerseniz birinci değerin tetrahedrona, ikinci değerin küpe, üçüncü değerin oktahedrona, dördüncü değerin dodekahedrona, beşinci değerin de ikosahedrona eşit olacağını görürsünüz.
eğer herhangi bir farklı değer verir ve 6. bir zar yapmaya çalışırsanız vereceğiniz bu değerlerin toplamı 1/2 sayısından düşük olur ve platon objelerinin her birinin gösterdiği (v)(ek) = 2e ve (f)(fk) = 2e özelliğini göstermez. bu durumda elde edeceğiniz cismin her yüzü birbirine eşit olmaz.
platon katıları hakkında detaylı bilgi için: wiki linki
yukarıda gösterdiğim işlemlerin kanıtı için: makale
dünyanın en absürt 10 filmi
-
film midir değil midir ben bilemem
1. usta'nın hikayesi
2. usta'nın hikayesi
3. usta'nın hikayesi
4. usta'nın hikayesi
5. usta'nın hikayesi
6. usta'nın hikayesi
7. usta'nın hikayesi
8. usta'nın hikayesi
9. usta'nın hikayesi
10. usta'nın hikayesi
zöge: zamanın ötesine bu kadar hızlı gitmesi de bir o kadar absürt.
edit: bu entry zamanının ötesine gitmiş geri dönmüş basamakları birer birer tırmanmış ve en beğenilenler arasında yerini almış görmüş geçirmiş bir entrydir.
azerice
bitaksi'ye bahşişli çağır özelliğinin gelmesi
-
bir de utanmadan taksi bulmanız kolaylaşır yazmışlar.
oldu olacak taksi ararken yağlı arap müşterimisiniz diye sorsun.
depremde telefonlarınız çekmezse bakanlığı arayın
yaran inci sözlük entry'leri
-
üşenmedim okudum. iyi ki okumuşum*
otobüste yanımdaki kız feci osurdu benden başka
kimse anlamadı onun osurduğunu çünkü yan
yanaydık ve kendi kıç bölgemde titreşimi hissettim.
çok güzel kızdı aslında böyle bir şey yapması beni
üzmüştü. daha sonra koku hafiften yayılmaya ve
kız da bunun farkında olduğu için kızarmaya başladı.
tabi ben hiç durur muyum ? hemen camı açtım ve
ayağa kalkarak; hanımlar beyler, az önce talihsiz bir
şekilde minibüsün içine osurdum. burnunuza çürük
kavun kokusu gelebilir, aldırış etmeyin. siz hiç
osurmadınız mı ? sen şoför amca, akşam televizyonun karşısına yatıp ntv sporu açtığın
zaman, burnunu karıştırırken hiç inletmedin mi
ortalığı? çocukların odada gülmedi mi hiç ? sen,
şişman olan kız. sen hiç deprem etkisi yaratmadın
mı zeminde ? klozeti parçalamadın mı hiç ? beni hor
görmeyin arkadaşlar, evet osurdum, ama bilinçli değildim. sadece, osurdum. diyerek gözyaşlarımla
beraber oturdum. yavaştan bir alkış sesiyle beraber
yıkıldı minibüs. şoför deli gibi kornaya basıyor ve
herkes zart zurt osuruyordu sonra yanımdaki kızla
göz göze geldik. gözlerini kapatıp bana doğru
eğildi. heyecandan kalbim çıkacak gibi olmuştu. ben de gözlerimi hafif kapatıp eğildim. ağzını uzattı
hafif araladı, yaklaştık.. gargh diye bi geğirdi amk
kevaşesi kendimden geçtim. direkt gömdüm
kafayı, müsait bi yerde indim. iyi yapmışmıyım
beyler ?
1.2 milyon yıllık obsidyen balta atölyesinin keşfi
-
bir arkeolog olarak, nefes kesici bir haber olduğunu söyleyebilirim.
başlık sahibi süsere de seviyeyi yukarı taşıma çabalarından ötürü teşekkür eder, saygılarımı sunarım. gına gelmişti zeynep bastık’ın eli ayağı vb başlıklardan.
15 haziran 2014 arjantin bosna hersek maçı
-
di maria'nın adının ilk kez 44. dakikada duyulmasının son derece normal olduğu maç. çünkü sağolsun fikret engin, ya messi diyor adama maçın başından beri ya da rodriguez. aynı zamanda rodriguez'e de messi diyor. ve lulic'e de hajrovic... zaten maç muhteşem(!), kendisi de tüy dikiyor resmen.
not: nasıl, senden fikret engin diye bahsetmem hoş olmadı değil mi levent özçelik??